Page 26 - FitxesMatSols

per conveni ) * + * + ) +
1 per la D. Caychy-Schwartz 180 > (− , B ) =
⊥ 7
=
17
1 éE F G H 7
1 1U 8
∑+.

( B , ) →
∈

∈
= =
) · +
desigualtat de Cauchy-Schwartz desigualtat triangular o de Mikowski ≤ ≤
∠ ,
1 11 1cos ($)
=

− 506 = ·

Producte escalar ∈
∀ ,
∈ ∈ · + · ∀ , ,

∀ ∈

0 ·

Producte escalar referit a la base canònica (+ * , + ) → Norma d’un vector

, ,-.(/(0 1)1 = +2) · ); '( ) = () * , ) ) → 1)1 = +2) * + ) ∈ Angle que formen dos vectors
7·8
≤ 171181

= 171181 on $ Producte escalar ordinari
=

90 > vectors
definim · de forma que:

·
→
· ∀ ,

=

=

( ) · ∀ ,

=
∈
0 ∀ ≥
= ↔
0 = () * , ) ) ( + =

∈
0 = ∀# ∈
∈
1 1 1 1 ∀ ,

∈ 1 1 + 1 1 ∀ ,

−1 → 506 −
7·8
=

De la definició anerior tenim: · 90 > < $ 90 > >

∈
··: · ·

· · ( + )
· ( · )
· ·

· ·

= '( )

Propietats de la norma
∀
= ∈ 0 ∀
≥
↔ 0 = |#|1 1 ∀
=
≤

≤
∈ Siguen ,

Definim cos($) → 0 >
→ 0 <
→ 0 =

− 506 éE F G H ∈
Siguen ,
Si ,
'( ) ∈ · 1 1
· 1 1
· 1 1
· 1# 1
· ( · )
· 1 + 1
Si ·
Si ·
Si ·
∈
V =

·)
de són base↔són LI i SG són base de i aquesta Vectors Ortogonals ) · +

↔
+ ⊥ )
+
∈ ⊥ T
1 1 = 1 1 = 1
Espai vectorial ( , ∈ +

( + ) + + +

=

0 ∈
Base de
, … , ) /
, ) I
, ) Totes les bases d’un e.v. tenen el mateix nombre de vectors. Aquest número rep el nom de dimensió de l’espai vectorial. Aixi tenim que (0,1) = N
∈
↔ S
Vectors Concurrents

∈ →
= +

=
= − +

→ ∈ +

$ + %

($%) Conseqüències del teorema de la base - En dos vectors LI formen base. - En dos vectors SG formen base. - En dos vectors LI són SG. (1,0) = base rep el nom de base canònica de
− 506
EN QHGQFQHL R

0 + = = =
= Base d’un espai vectorial Un conjunt de vectors ) * Teorema de la base 2 = Base Canònica de
Base Ortonormal de ∈ Vector de posició
∈
· · + ( + )

= · +

= · + 0
· + −

∈ ·
· ( + )

· ($ + %) · $(% )

= · 1
K L( ) Els vectors N B ,
Suma de vectors ∈ Multiplicació d’un vector per un escalar ∈ Vectors oposats

( + ,
+ ) ∈ $ + % on $, %
·
de són SG ↔ qualsevol vector de

= (# , #
) ∈
=
= Vector fixe
+
#

↔

= on
→ → Dependència lineal =

direm que , són LD ↔ un d’ells és CL dels altres són LD ↔ ·
↔
Un espai vectorial direm que és de dimensió finita si pot ser generat per un
∈ ∈
direm que són LD ↔ un d’ells és CL de l’altre
, … , P
( , ) ; #

∈
, O Vectors lliures
= ∈ direm que és CL de
Aquest procés pot generalitzar-se a més vectors

Aquest procés pot generalitzar-se a més vectors ( , )
,
;
( ,
) direm que és CL de

es pot posar com CL d’aquells vectors.
∈ =
Combinació lineal de vectors CL =
Un conjunt de vectors és LI si no són LD
( ,
) ; ∈ Sistema de generadors SG Un conjunt de vectors B número finit de vectors.

= ∈ ∈ Vectors equipolents

∈ Si ,

Si , ,

Vectors LD ∈
Si ,

Si , ,

Dos vectors LD ( ,
) =
Vectors LI