Page 27 - FitxesMatSols

> 2
= 0 /0 1 = M =M N = M 6 = M · · · per 6 = K[P 1 + P 0 ] ℤ 7 per 5 < 1. Per tant: [ = " − " ^" = ! o + !

Demostració. Demostrarem que K ) és irracional→ K és irracional (perquè si K fora racional→ K ) seria racional)
ℕ i primers entre ells. = C *S. · Q . que és enter. · P · /0 K ^ = W + W ∈ < ja que 0 < ! < 1 _`a b < < ! 7 entre els valors 0 i 1. Impossible, per tant, és irracional. e , ⟶ < e , < Tots els termes de l’igualtat són enters per tant.

= Q * · RK )* − K )*S) @@ + K )*ST T + ⋯ + −1 * )* V

és irracional = on , N ∈ N · C −1 = Q * Q −1 = /0 K · [P @@ + K ) · P ] = Z 1 − Z 0 = P @ 1 /0 K − KP 1 ',/ K − P @ 0 /0 0 + KP 0 ',/ 0 ] < < ! ^ ⟶ 0 < [ ^ Si = és integrable en [ , ] + ! + M! + ⋯ + ! + e , j

Farem la demostració per reducció a l’absurd. Suposem que M
= Q * · K ) *S. Com, per 3, . 0 i . 1 són enters, tenim que: W W ∈ ℤ 5 P′′ = Q * RK )* @@ X − K )*S) T +. . . +K ) )* + −1 * )*=) Vl’últim terme és 0 ja que . 0 Calculem P @@ + K ) P (Cada sumand està canviat de signe en les respectives funcions) W @@ + M W Considerem la funció: Z = P @ · /0 K − K · P · ',/ K . = P @@ · /0 K + K · P @ · ',/ K

Teorema Considerem: P ≥ 2C, Cada coeficient és de la forma Q * · K )*S). Calculem P @@ : Derivant: Z @ Pel teorema fonamental del càlcul integral, tenim: > K ) C * [ /0 K \ E Tenim, per tant: K ) C * ] > E 1 Sabem que: 0 < < ! si 0 < [ ^ < [ 0 Arribem a un absurde, un nombre enter: g e , = = " − " − j " ! + ! f

és irracional < ! > 1 (si C < 1, és similar) considerem ≤ 1 · C * ! 2 E ! E ! C 0 > · 0 ! , tindrem: ! és irracional Teorema de Taylor i h g ! = ! = < = + ! ! és irracional ! + ! + ! + ⋯ + ! + ! · e , ! M!

< 1 ⟶ é ! "#! " $% Si |C| > 1, ho demostrarem per C gran, suficientment C C *=> ! + 1 ! = + 1 · C * ≥ 2C, tindrem que: C * H => E + 1 ! ≤ 1 · C * H E ! 2 ) C * H =) · C * H E + 2 ! ≤ I 1 J 2 … . C * H =. · C * H E + 1 ! ≤ I 1 J 2 Si k és tan gran que acompleix 2 . C * H =. E + 1 ! < = E + 1 (suficientment gran) s’acompleix: C * < ! ≤ ! ! [ − " ^" on C i Q

4 Lema ∈ ℝ < Demostració Si |C| < 1, és evident. és n Com d’aquesta forma tindrem: ∈ ℕ ∕ E Siga E Si = + @ − +. . . + − + e , on [ ! " ! − " ^" = N De manera que: o o < < < b +

< 1 ℕ ℕ = o + ! ! · e ,
< = ℤ ∀c ∈ ℤ ∀c ∈ p ,
si 0 = ′′ . 1 − = −1 . · . < < <
< ! ′′ 1 − De 1 i 2 tenim: e ,
1 − @ 1 − = − ′ c ∈ c ∈
< 2 Derivant … 3 + e , j < o · ! + ! ⟶

0 ⟶ ! <
que acompleix ℤ ∈ > 2 < , 1 ℤ ∈ + ⋯ + Ho demostrarem per reducció a l’absurd. Suposem que ! és racional. És a dir, ! ! · e ,

+ o o! + ! + M! + ⋯ + ! + e , j
= ! · & ' ( · ( , ' ( ∈ ℤ /0 1 = ! · [ + 1 ! · ' *=> + 789:8/ /,;/ 8 ] M! <
= · − ! = · − ! )* 1 (+* = 0 ≤ 2 ? * = ! · [ ! · ' * + 789:8/ /,;/ 8 ] ∈ ℤ = 2 · 2 − 1 ··· + 1 · ' )* @@ , … , , = estan definides sobre [ , ] + + M També deu ser enter: ! · e , . Però: o ⟶ + !

Desenvolupant el binomi tindrem que: . 0 ≤ 1 1 1 1 )* = ! · 2 ! · ' )* ℤ ∈ = ' * = + 1 · ' *=> = ! = = ! <

∑s Considerem: 1 Derivant Què passa si *=> … Per tant: * 0 *=> 0 … )* 0 Si @ , = ! = N e , <