Page 29 - FitxesMatSols

Trigonometria
Raons trigonomètriques d’un angle Igualtat fonamental de la trigonometria Angle + Producte a suma Reducció al 1r octant
sin( + ) = · + · 1
( ) + ( ) = sin ·sin   2 cos(  )   cos(   ) 

cos(α + β) = · − · 1
cos ·cos   cos     cos    
Altres igualtats importants tan( + ) = + sin ·cos   2 1 sin      sin    
+ = 1 − · 2

+ = Angle − Suma a producte

Circumferència Goniomètrica sin( − ) = · − ·
cos(α − β) = · + · sinA  sinB  2sin A  2 B cos A  2 B
A  B A  B
− sinA  sinB  2 cos sin
sin( ) = cos(α) = tan(α) = = tan( − ) = 2 2

1 + · A  B A  B
cos A  cos B  2 cos cos

2 2 B sin − = ( ) sin + = ( )
1 1 1 A B A 2 2
( ) = ( ) = ctan(α) = Angle cos A cos B   2sin sin

sin cos 2 2 cos − = ( ) cos + = − ( )
1 − 2 2
sin =
Raons dels angles més utilitzats 2 2 Angle sin( − ) = sin ( ) sin( + ) = −sin ( )
α 1 + sin(2 ) = 2 · cos( − ) = − ( ) cos( + ) = − ( )
( ) ( ) ( ) cos = 2 cos(2 ) = − 3 3

2
2
1 − 2 ( ) sin 3 − = − ( ) sin 2 3 + = ( )
~ 0 1 0 tan = 1 + (2 ) = 1 − ( ) cos 2 − = − ( ) cos 2 + = ( )

2
1 √3 √3 Teorema del sinus Teorema del cosinus Fórmula d’Heron
~

2 2 3 a  b  c
2
2
2
√2 √2 a  b  c  A p  B
~ 1 = = 2 bc cos

2 2 2 2 2 2
√3 1 b  a  c  2 ac cos B c a
~ √3

2
2
2
2 2 = = c  a  b  2 ab cos C A  p· p  a  p · b  p ·  c
~ 1 0 ∄ A C

b
Complexos C
Forma binòmica Forma polar
= + ( ) = ∈ , ( ) = ∈ ⊂ ja que s ∈ → = + 0 ∈ Argument d’un complex
Suma de complexos Producte d’un escalar per un complex Producte de complexos Si = + definim arg( ) com l’angle que z  z
determina el semieix positiu X amb el número 
1 = 1 + 1 → + = ( + ) + ( + ) = + → · = + = + → · = ( − ) + ( + ) complex z medit en sentit antihorari.

2 = 2 + 2 ∈ = +
 Representem el complex = + Forma trigonomètrica
 Calculem els angles ∈ [0,2 ] que
Propietats de la suma Propietats del producte per un escalar Propietats del producte acompleixen =
 , ∈ → + ∈  , ∈ ∈ → ( + ) · = · + ·  , ∈ → · ∈  Hi ha dos angles, elegim el que correspon arg( ) = → = | |( + · )
 + = + ∀ , ∈  ∈ , ∈ → · ( + ) = · + ·  · = · ∀ , ∈ a la representació.
 ( + ) + = + ( + ) = + + ∀ , , ∈  ( · ) · = · ( · ) = · · ∀ , , ∈ Multiplicació en forma polar Potenciació en forma polar
 + 0 = 0 + = ∀ ∈ , 0 = 0 + 0  , ∈ ∈ → ( · ) · = · ( · )  · 1 = 1 · = ∀ ∈ , 1 = 1 + 0 z  z , w  w  z w    wz   
n
n

 + (− ) = 0 ∀ ∈ , − = − −  ∈ → 1 · =  · = 1 ∀ ∈ ∗      z  z , n  N  z  z
 n 
Conjugat d’un complex Propietats del conjugat Mòdul d’un complex Divisió en forma polar Fórmula de Moivre
Si = + el conjugat és = − z  C  z  z z, w C  z  w  z  w Si z  a  i b  C definim z   a 2  b 2 z  z , w  w on w  0  z   z   ( + ) = cos( ) + ( )



z  C   z   z z z w Propietats del mòdul   w  w     

z, w  C  z  w  z  w z, w  0  C  w  w Radicació en forma polar
w w Si z, w  C  z  w  z 
z  z  z  z
z  C  Img( z)  z, w  0  C     Si z, w C  z  w  z  w Si n  N *  z  n z
n
i 2  w  w     2 k on k  3 , 2 , 1 , 0 ,...,  n  1
arg z

2
z  z Si z, w  0  C  z  z Si z  C  z z  z n n
z  C  Re (z )  w w ∑
2