Page 9 - Conjectures
P. 9
Conjectura de Bachet
Teorema dels quatre quadrats
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange, també anomenat conjectura de Bachet, va ser
demostrat el 1770 per Joseph Louis Lagrange. Diu que qualsevol nombre enter positiu és la
suma de quatre quadrats enters.
Per exemple:
Més formalment, per a cada enter positiu n , existeixen nombres enters no negatius
a , b , c , d tals que: n = a + b + c + d 2
2
2
2
Adrien-Marie Legendre va millorar el teorema el 1798 demostrant que un enter positiu es pot
expressar com la suma de tres quadrats si i només si no és de la forma 4 (8 m +7). La seva
k
prova estava incompleta, deixant un buit que després va omplir Carl Friedrich Gauss.
El 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en
què un nombre enter positiu n donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats.
Aquest nombre és vuit vegades la suma dels divisors de n si n és senar i 24 vegades la suma
dels divisors imparells de n si n és parell.
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del teorema del nombre
poligonal de Fermat i del problema de Waring.
Una altra generalització possible és: donats els nombres naturals a, b, c, d, es podria resoldre:
on , , , corresponen a nombres naturals positius.
El cas es contesta pel teorema dels quatre quadrats.
Ramanujan va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de
generalitat, que , llavors hi ha exactament 54 opcions possibles per a, b, c, i d,
tal que l'equació és soluble en nombres enters on , , , per a tota n. De fet, Ramanujan
va catalogar una 55a possibilitat , , , d , però en aquest cas l'equació no
és resoluble si .
