Page 10 - Conjectures

Al voltant de 1343, Levi ben Gerson demostra que, d'entre tots els cubs i quadrats,
només el 8 i el 9 són nombres consecutius. Al voltant de 1750 Euler fa una
demostració semblant dient que, si , llavors x=3 i y=2. L'any 1884,

Catalan, en una carta a l'editor del diari de Crelleescriu el següent:

«Li prego, Senyor, si vol enunciar, en el seu recull, el teorema següent, que
crec verdader, encara que no hagi aconseguit encara demostrar-ho
completament: altres seran potser més encertats:
Dos nombres sencers consecutius, diferents de 8 i 9 no poden ser

potències exactes; en altres paraules: l'equació
on les incògnites són enteres i positives, no admet més que una única
solució.»

L'any 1850, Victor Lebesque demostra que un quadrat mai no va immediatament
després d'una altra potència. Al llarg del segle XX es fan demostracions semblants:
el 1921 es demostra que x -1=y és impossible per n>1, el 1932 es demostra que
n
3
x -1=y és impossible per n>1. El 1940, es demostra que x -1=y és impossible i
4
n
2
n
finalment l'any 1964 Ko Chao demostra que x +1=y és impossible.
2
n
A finals de segle XX s'anirà acotant el calor de m i n gràcies a les aportacions de
Robert Tijdeman i Maurice Mignotte. L'any 1998, Yann Bugeaud i Guillaume Hanrot
introduiran l'ús dels nombres de complexitat ciclomàtica, eina que, Preda
Mihailescu farà servir el 2002 per demostrar la conjectura.

D'altra banda, en cas que tinguem tres potències: x , y i z Sabem que mai no
p
m
n
seran nombres consecutius. Teorema demostrat per William J. Lévèque l'any 1952.