Page 11 - Conjectures

Conjectura de Collatz

La Conjectura de Collatz és una conjectura matemàtica així denominada perquè la va
proposar per primer cop el matemàtic alemany Lothar Collatz l'any 1937. La conjectura ha
rebut altres noms com conjectura 3n + 1 (pel motiu que ja es veurà), conjectura d'Ulam (pel
matemàtic polonès que la va estudiar, Stanisław Ulam), problema de Siracusa (per la
Universitat americana de Syracusa que hi va dedicar molts esforços), algorisme de Hasse
(pel matemàtic alemany Helmut Hasse), conjectura de Kakutani (pel matemàtic japonès
Shizuo Kakutani), etc.

Plantejament

Considerem la següent operació sobre qualsevol nombre natural arbitrari:

 Si el nombre és parell, el dividim per dos.
 Si el nombre és senar, el tripliquem i li afegim una unitat.

En la notació pròpia de l'aritmètica modular, definim la funció de la següent manera:

Exemples

És fàcil comprovar que quan la seqüència arriba al valor unitari, la funció entra en un bucle en
el qual el càlcul reiterat donaria constantment el resultat {4,2,1,4,2,1,4,2,1,...}.

 1 és senar, per tant el següent nombre seria (3 * 1) + 1 = 4;
 4 és parell, per tant el següent nombre seria 4 / 2 = 2;
 2 és parell, per tant el següent nombre seria 2 / 2 = 1; i reiniciem el bucle.

En els càlculs fets, s'ha comprovat que fins a la conjectura es verifica. Però també
s'ha comprovat que el temps total de finalització difereix notablement d'uns nombres a altres.

Amb nombres petits, es pot veure que les seqüències segueixen camins molt diferents per
nombres que són molt propers. Per exemple:

 la seqüència del 30 és:

{15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}, després de 18
iteracions