Page 6 - Conjectures
P. 6
Conjectura de Goldbach
Tot nombre enter parell superior a 2 es pot escriure com a suma de dos
nombres primers.
Malgrat la seva aparent senzillesa, és un dels problemes matemàtics més antics
sense demostrar pertanyent a la teoria dels nombres, i forma part dels problemes
de Hilbert. Fou plantejada el 1742 pel matemàtic prussià Christian Goldbach i és
molt fàcil comprovar-ne la veracitat per als primers nombres enters:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
El fet d'expressar un nombre com a la suma de dos nombres primers s'anomena
partició de Goldbach.
Les diverses conjectures de Goldbach
Quantitat de combinacions amb les que un nombre parell pot expressar-se com a
suma de dos primers.
La conjectura que s'ha plantejat anteriorment s'anomena més rigorosament
conjectura binària o forta de Goldbach. En realitat la conjectura original de
Goldbach, actualment coneguda com a conjectura ternària de Goldbach, afirma
que tot nombre enter superior a 5 es pot escriure com a suma de tres nombres
primers.
Leonhard Euler aconseguí reexpressar la versió original en la versió més famosa
coneguda actualment (la binària). És a dir la conjectura original (la conjectura
ternària) i la binària són dos plantejaments equivalents del mateix problema.
Finalment, també existeix la conjectura feble de Goldbach, que afirma que tot
nombre enter senar superior a 9 es pot escriure com a suma de tres nombres
primers senars (és a dir, tots excepte el 2).
S'ha treballat molt en la conjectura dèbil, culminant en 2013 en una reivindicació
del matemàtic peruà Harald Helfgott sobre la seva demostració completa.
