Page 34 - Encantador
P. 34
Proves
La propietat 1 és òbvia a partir de la definició. La propietat 2 també és clara: per a
qualsevol cercle de radi r , i qualsevol punt P sobre ell, el cercle de radi 2 r centrat en
P és tangent al cercle al punt oposat a P ; això s'aplica en particular a P = H , donant
el cercle anticomplementari C . La propietat 3 en la formulació de l'homotècia
continua immediatament; el triangle de punts de tangència es coneix com a triangle
anticomplementari.
Per a les propietats 4 i 5, primer observeu que dos dels tres cercles de Johnson són
intercanviats per la reflexió en la línia que connecta H i la seva intersecció
bidireccional (o en el seu tangent comú en H si aquests punts coincideixen), i
aquesta reflexió també intercanvia els dos vèrtexs del triangle anticomplementari que
es troben en aquests cercles. Per tant, el punt d'intersecció en dos sentits és el punt
mitjà d'una banda del triangle anticomplementari, i H és a la bisectriu perpendicular
d'aquesta banda. Ara, els punts mitjans dels costats de qualsevol triangle són les
imatges dels seus vèrtexs per una homotècia amb factor −½, centrada al baricentre
del triangle. Aplicat al triangle anticomplementari, que s'obté del triangle de Johnson
per una homotècia amb factor 2, es dedueix de la composició d'homotècies que el
triangle de referència és homotètic al triangle de Johnson per un factor -1. Com a tal
homotècia és una congruència, això dóna la propietat 5, i també el teorema dels
cercles de Johnson, ja que els triangles congruents tenen cercles circumscrits del
mateix radi.
Per a la propietat 6, ja es va establir que les bisectrius perpendiculars dels costats
del triangle anticomplementari passen totes pel punt H; atès que aquest costat és
paral·lel a un costat del triangle de referència, aquestes bisectrius perpendiculars
són també les altituds del triangle de referència.
La propietat 7 es deriva immediatament de la propietat 6, ja que el centre homotètic
el factor del qual és -1 ha d'estar en el punt mitjà dels circumcentres O del triangle de
referència i H del triangle de Johnson; aquest darrer és l'ortocentre del triangle de
referència, i se sap que el seu centre de nou punts és aquest punt mitjà. Atès que la
simetria central també assigna l'ortocentre del triangle de referència al del triangle de
Johnson, el centre homotètic també és el centre de nou punts del triangle de
Johnson.
