Page 32 - Paradoxes
P. 32
Banya de Gabriel
La Banya de Gabriel (també anomenada Trompeta de Torricelli ) és
una figura geomètrica ideada per Evangelista Torricelli que té la
característica de posseir una superfície infinita però un volum finit.
En el moment del seu descobriment, va ser considerat una paradoxa.
Aquesta paradoxa aparent ha estat descrita de manera informal
assenyalant que seria necessària una quantitat infinita de pintura per
cobrir la superfície interior, mentre que seria possible omplir tota la figura
amb una quantitat finita de pintura i així cobrir aquesta superfície.
La solució de la paradoxa és que una àrea infinita requereix una
quantitat infinita de pintura si la capa de pintura té un gruix constant.
Això no es compleix en l'interior de la banya, ja que la major part de la
longitud de la figura no és accessible a la pintura, especialment quan el
seu diàmetre és menor que el d'una molècula de pintura. Si es considera
una pintura sense gruix, seria necessària una quantitat infinita de temps
perquè aquesta arribés fins al «final» de la banya.
En altres paraules, arribaria un moment en què el gruix de la trompeta
seria més petit que una molècula de pintura de manera que, diguem,
una gota de pintura cobriria la resta de la superfície de la trompeta
(encara que fos infinit). Així, que la superfície de la trompeta sigui infinita
no implicaria que la quantitat de pintura hagi de ser infinita.
Però la paradoxa també té solució encara que suposem una matèria
divisible indefinidament (és a dir, si no existeixen els àtoms). Si el gruix
de la capa de pintura és variable i disminueix indefinidament (tendint a
zero), la quantitat de pintura es calcularia per una integral impròpia que
podria ser convergent. En aquest cas, el gruix de la capa de pintura
forçosament hauria de ser igual o menor al valor i, el que fa que la
integral impròpia, en aquest cas, sigui convergent, és a dir, es necessita
una quantitat finita de pintura.
