Page 30 - Paradoxes
P. 30
Paradoxa de Banach-Tarski
La paradoxa de Banach-Tarski és en realitat un teorema (en ZFC) que
afirma que és possible dividir una esfera (plena) de radi 1 en vuit parts
disjuntes dos a dos, de manera que, aplicant moviments oportuns a cinc
d'elles, obtinguem nous conjunts que constitueixin una partició d'una
esfera (plena) de radi 1, i passi el mateix amb les tres parts restants.
En paraules més senzilles, se suposa que és possible fabricar un
trencaclosques tridimensional d'un total de vuit peces, les quals,
combinades d'una determinada manera, formarien una esfera completa i
plena (sense forats) i, combinades d'una altra manera, formarien dues
esferes farcides (sense forats) del mateix radi que la primera.
El teorema de Banach-Tarski rep el nom de paradoxa perquè contradiu
la nostra intuïció geomètrica bàsica. Les operacions bàsiques que es
realitzen preserven el volum sempre que els fragments siguin
mesurables, però precisament les vuit parts citades en el teorema són
conjunts no mesurables. La construcció d'aquests conjunts fa ús de
l'axioma d'elecció per a realitzar una quantitat no numerable d'eleccions
arbitràries.
