Page 5 - FitxesMatSols

1 + #8% 1 (-) · - − 1 + A#8% 1 (-) · - · 9%(-) + 6 · 0 7 · -

& (
) · (
) = "A 1 (-) · - = −A "A 1 (-) · - ( ) · 6 = 0 ≠

= − 1 · - ( ) → ↔ ∃V( ) on ( ) està per dalt de la recta tangent a ( ) en ↔ ∃V( ) on ( ) està per baix de la recta tangent a ( ) en 0 0 i ( )
= = −csec(-) · A#8%(-) · - · - · - · - · - = =
(
) sec(-) · #8%(-) · - −1 √1 − - 1 −1 1 + - 1 1 - · √- 1 − 1 · - −1 - · √- 1 0 Concavitat i convexitat. Punts d’inflexió

= cos(-) · - −sin(-) · - 1 A: 1 (-) · - −1 !% 1 (-) · - 1 √1 − - 1 = 1 = 1 + - 1 = = = · 9%(-) + 6 · 7 · - funció, és un

(
) i = = = = ( ) = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cóncava en ( ) convexa en d’una ( ) é Aò%A868 ( ) é A:%6" 8

= ( ) → ( ) → ( ) → → A#8%(-) ( ) → ( ) → csec(-) → 8CA !%(-) → 8CAA: (-) → 8CA#8%(-) → 8CAA#8%(-) → 8CA "A(-) → 8CAA "A(-) 6 = curvatura estudiarem el signe de la segona derivada. → → Condició necessària de punt d’inflexió: ( ) Condició suficient de punt d’inflexió: ( )
Regles de derivació
Derivada de la composició de funcions. Regla de la cadena (& ∘ ) (
) sin(-) = ( ) cos(-) = ( ) #8%(-) = ( ) = ( ) sec(-) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) 0 → 6 · 9%(-) O(L) · ( ) , ( ) és cóncava en ( ) és convexa en → 0 > Si ( ) → 0 < Si ( ) la estudiar 0 > Si ( ) 0 < Si ( ) Si en , ( ) canvia de curvatur

· - · 9%(8) 1 · 9%(8) = 9% ( ) ∈ 0 = Per 0) a < 0), hi a 0) 0), <
⟶ 0 = ( ) 1 · - % · - ./0 = −1 · - - 1 1 = 2√- · - 4 · - = ± 6 - = · 6 + - · 6 - = - · 6 − 6 6 1 · - " 7 = · - 8 7 = 1 = ( ) - · - 1 = ( ) - · - → - N = derivable,
⟶ Condició suficient1: Si la funció passa de ser decreixent ( ( ) > creixent ( ( ) ha un mínim relatiu. Si la funció passa de ser > ( ( ) ( ( ) decreixent hi ha un
Càlcul diferencial : , → * ∈ ) = ( ) = ( ) → = ( ) ( ) → - . = ( ) 1 = ( ) → = ( ) - ( ) → = ( ) √- ( ) → · - 4 = ( ) ( ) → - ± 6 = ( ) ( ) → - · 6 = ( ) - = ( ) → = ( ) 6 ( ) → " 7 = ( ) ( ) → 8 7 = ( ) → 9%(-) = ( ) → 9:; < (-) = ( ) Derivada logarítmica ( ) Aplicacions de la derivada : , Màxims i mínims relatius Condició

Derivabilitat ⟶ Continuïtat (
) contínua no derivable en
(
) no contínua en
→ ∄ (
) Derivabilitat ≡ Suavitat ( ) derivable en < ( )

Monotonia ( ) creixent en → ( ) decreixent en → ( ) é AC"! "%# ( ) é Y"AC"! "%#
, − ( 0 ) 0 > 0 < → 0 > → 0 <

∈ − ( ) ! " ! #"! ! é !%!# + ℎ) lim ( 0 ℎ ( ) ! " ! #"! ! é !%!# Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( )
Derivada d’una funció en un punt
ℎ) + lim ( ℎ D és el pendent de la recta tangent a (
) en
= lim = ℎ→0 → F8%(H) ℎ≠0 − ( ) −
= Recta tangent a (
) en
P ( , ( )) Q ( ) = E ) − ( · E =

∑ = ( ) → = (
) F8%(G) = E lim = ( ) L→L M L L M ≡ # ( ) − X