Page 3 - FitxesMatSols

Conseqüències del T. de la base • En
, tres vectors LI formen base. • En
, tres vectors SG formen base. • En
, tres vectors LI són SG.

Espai vectorial de les matrius (M mxn ,+,· ) és un espai vectorial sobre E Atenció la compleix no matrius de producte propietat commutativa. En general: ≠ J · I I · J · ≠ I " ± " I · J + J " I ± J " · I + J · I − J ≠ I " − J " · ! U T " U [ ! X X ! " X X X −" −UR I = Q ! T = S −" −U T V I ` ! −! −! ! = Q−! XR " !R → I a! !
& = 0,1,0 ∈
&
= 0,0,1 ∈
són base de
i aquesta base rep el nom de base canònica de

de
són SG ↔ qualsevol vector de
es pot posar com CL d’aquells vectors.

Un espai vectorial direm que és de dimensió finita si pot ser generat per un nombre finit de vectors.
= , · 5 < ? · El −!W R −!Y / ∈ M mxn s’anomena matriu transposada ∈ M nxm que és la matriu que resulta " " " ! ! X ! ! X −! ! ! " XR ~ QX X −! X X ! −" ! f1~f1-f3 · · · · · · Inversa X V · −! · ·

∈ M mxn on B < , + 0 · , = ? = , · 0 + - · 0 = , · - · 0 U −U U U = Q !X X Matriu quadrada on els elements que estan per sota la diagonal principal són 0. I = Z X d’intercanviar, respectivament, files per columnes. = c Exemple:I = Q! ! ! ! X ! " X R ~ QX ! X X ! f3~f3-f2 −"R. Necessariament p és d’ordre 2x2, s = " t = X ⟶ k = S " u = v = −!

, … , # de
són base ↔ són LI i SG Teorema de la base Totes les bases d’un e.v. tenen el mateix nombre de vectors. Aquest nombre és la dimensió B D = A = 0 · 0 + · , → 0 ∈ M mxn → , + - · 0 0 ∈ M mxn → , · - · 0 = 0 −" V T · S " U ! "/ Matriu transposada d’una matriu Donada da la matriu 0 de la matriu 0 a: 0 _ 0 · 0 a
0 a
· 0 = c −! ! ! ! X −! ! X X ! ! E. −!

, … , ,
, , , " , → ∈ ∈ ∈ M mxn , ∈ M mxn → 1 · 0 − " !R −" /" Matriu triangular superior X X XR ! ! X ! X −! ! ! XR ~ QX ! X X ! X X f2~f2-f1 Equacions matricials ∈ · j · k + I · k = J ⟶ j · ^ · k + I · k = J ⟶ j · ^ + I · k = J ⟶ k = j · ^ + I a! · J n "R · k = Q o !X z −! −"R ⟶ y −T x
Sistema de generadors SG Un conjunt de vectors
Base d’un espai vectorial Un conjunt de vectors ! de l’espai vectorial. Aixi tenim que $ %
= 3 Base Canònica de Els vectors &
= 1,0,0 ∈
, Producte d’un escalar per una matriu = =5 < > ∈ M mxn , Propietats ( 0, ? ∈ ( ,, - ∈ ( ,, - ( 0 −" V → I · J = Q! U − " −!R ! " ! = QX X ! ! ! X " XR ~ Q! ! ! X ! f1~f1-f2 Siguen A

Àlgebra. Matrius. Espai vectorial Vectors LI Un conjunt de vectors és LI si no són LD Matrius Si 0 + @ < = 5 < ∈ M mxn ∈ M mxn ∈ M mxn ∈ M mxn − " T = S " !R; J ! −" Tipus de matrius ! = QT " Matriu quadrada on la diagonal principal són 1 i la resta 0. ^ Si 0 ∈ M nxn , anomenem matriu inversa d’0 a: 0 a
∈ M nxn , una altra matriu que compleix:b X ! " " Q! ! ! X " X X

Producte d’un escalar per un vector =
, ,
∈
; ∈ → =
, ,
∈
Propietats · ( ∈ + ∈ → + ∈
· + + = + + + · , + - = , + - · , - = ,- · 1 = Si , ∈
direm que són LD ↔ un d’ells és CL de l’altre Si , , ) ∈
direm que , ) són LD ↔ un d’ells és CL dels altres Suma de matriu

=
, ,
∈
→ + =
+
, + ,
+
∈
→ + ∈
· + + ) = + + ) = + + ) · + = + · + 0 = 0 + = · + − = − + = 0 Vectors LD Aquest procés pot generalitzar-se a més vectors. = =@ < > = =5 < > ? Si 0 Propietats ( 0,? ∈ M mx

Suma de vectors =
, ,
∈
Propietats · ( ∈
∈
= , 0 ∈ on 5 < = A = =@ < > ∈ M nxr → 0 · ? U −T Matriu quadrada on els elements que estan per dalt de la diagonal principal són 0. I = \ ! el rang d’una matriu emprarem el mètode de Gauss. El Mètode de Gauss es basa en les següents propietats: · Si d’una matriu eliminem una línia de zeros

∈ ; = 1,2,3 Si , ∈
direm que és CL de ↔ = + on + ∈ Si , , ) ∈
direm que ) és CL de ↔ ) = , + - on ,, - ∈ Aquest procés pot generalitzar-se a més vectors. ∈M mxn ( % files i 1 columnes) (ordre de la matriu: mxn) 5

… 5
5
… 5 : 5

… 5
9 ⋯ ⋯ 2 5 7
5 7 5 7
…5 7 8 7; Donada la matriu quadrada 0, direm que és = 0 T ! " ! ] " \ ! " ! U " !

Vector ∈ =
, ,
on Combinació lineal de vectors CL Matriu d’ordre ./# 5
5

5 4 5
5
3 5
⋯ ⋯ Producte de matrius = =5 < > ∈ M mxn ? Matriu amb una sola fila. I = ! Matriu triangular inferior Matriu simètrica simètrica sii 0 _ = I −1 3 −1 1 2 4 2 1
∑|} 0 = 0 Si 0 Matriu fila P51e Q