Page 10 - Encantador

Teorema del punt fix de Brouwer

El teorema del punt fix de Brouwer , el nom es deu al matemàtic
holandès Luitzen Egbertus Jan Brouwer, és un dels principals teoremes

de punt fix en les matemàtiques. El seu enunciat és el següent:

Siga un conjunt homeomorf a (bola unitaria tancada),

Siga una funció contínua. Llavors admet un punt fix, és a
dir,

Hi ha diverses demostracions per aquest teorema, per exemple ocupant
teoria del grau de Brouwer. En general es prova per la bola unitària, i
després per Homeomorfisme és fàcil concloure el cas general. Una

observació important és que el teorema no és cert en dimensió infinita.

El teorema té diverses aplicacions interessants, per exemple per
l'existència de solucions en algunes equacions diferencials ordinàries,
com també implica que un got amb algun líquid, sense importar que tant

s'hagi batut, al final sempre hi haurà algun punt del líquid que quedi en el
mateix lloc que on va partir. Amb el teorema també es conclou que no
existeix retracció de la bola unitària en la seva frontera, és a dir, no

existeix contínua i tal que la restricció a la
frontera sigui la identitat.

Història

El teorema del punt fix de Brouwer va ser un dels primers èxits de la
topologia algebraica i és la base d'altres teoremes del punt fix més

generals que son importants en l'anàlisi funcional. El cas de va
ser demostrat per primera vegada per Piers Bohl el 1904 (publicat al
Journal für die reine und angewandte Mathematik). Més tard va ser
demostrat per L.E.J. Brouwer el 1909. Jacques Hadamard va demostrar

el cas general el 1910, i Brouwer va trobar una demostració diferent el
mateix any.