Page 19 - Conjectures

Conjectura de Poincaré

La conjectura de Poincaré (des de la seva demostració l'any 2003 coneguda
també com a Teorema de Poincaré - Perelman) és, en matemàtiques, un
teorema respecte a la caracterització de l'esfera de tres dimensions o 3-esfera.

Tot i que no es demostrà fins al 2003 gràcies a Grigori Perelman, com a conjectura
va ser formulada per primer cop l'any 1904 per Henri Poincaré, i l'anuncià
d'aquesta manera:

« Considerant una varietat topològica compacta V de tres dimensions sense
vora. És possible que el grup fonamental de V sigui trivial encara que V no
sigui homeomorfa a una esfera de dimensió 3? »

La qüestió, dita d'una altra manera, és saber si tota varietat de dimensió 3 tancada,
simplement connexa i sense vora és homeomorfa a una 3-esfera. Si «un objecte
de tres dimensions» donat té les mateixes propietats que una esfera (això és: tots
els bucles es poden arrossegar i tancar en un punt), aleshores és una
«deformació» d'una esfera tridimensional (l'esfera ordinària, superfície en l'espai
euclidià, que només té dues dimensions).

Notem que ni l'esfera ni cap altre espai tridimensional desproveït de cap altra
frontera que R (l'espai ordinari) no poden ser dibuixats adequadament com
3
objectes en l'espai ordinari de tres dimensions. És un dels motius pels quals costa
visualitzar mentalment el contingut de la conjectura.

1. Fins a l'anunci de la seva resolució a càrrec de Grigori Perelman el 2003, la
seva demostració era un dels problemes de topologia no resolts. Considerat
el més important d'aquesta branca de les matemàtiques, és un dels set
problemes del Premi del mil·lenni de l'Institut de matemàtiques Clay.