Page 16 - TercerLlibre

Departament de Matemàtiques Pàg. 14
MatVall
.
2n Cicle de Secundària Geometria

Ens fonamentals de la geometria

Els ens fonamentals de la geometria clàssica (Euclides)
són entitats que no tenen definició, sabem el que signifi- Elements d'Euclides
quen per la descripció de les seues característiques. El
punt, la recta i el pla són els tres ens fonamentals de la De Viquipèdia
geometria clàssica. Fragment d'Els Elements d'Euclides,
escrit en papir, trobat al jaciment
d'Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipte.
Punt El punt, en la geometria euclidiana, és un concep-
te intuïtiu. L’ens geomètric sense dimensions que descriu
una posició en el pla o en l’espai, determinada per un sis-
tema de referència.
Els Elements és l'obra més important escrita per Euclides. És un tractat
matemàtic que consta de 13 llibres. Cadascun consta d'una successió de

teoremes que parlen de geometria, aritmètica i àlgebra. A vegades a
aquests llibres s'hi han afegit els volums XIV i XV, que van ser escrits per
altres autors, però tenen un contingut similar que s'hi aproxima. Els
elements, tot i ser una obra pròpia d'Euclides, és la recopilació de més
de tres segles d'investigacions profundes i detallades (època anomena-
da Edat "Heroica de les Matemàtiques"). Els primers Elements van ser
escrits per Hipòcrates, i es poden trobar mencionats altres autors en la
seva escriptura.
Recta En geometria euclidiana, la recta o línia recta, és
l’ens ideal que s’estén en una mateixa direcció, existeix Postulats i axiomes dels Elements d’Euclides
en una sola dimensió i conté infinits punts. També es
Els cinc axiomes dels Elements són:
descriu com la successió continua i indefinida de punts
en una sola dimensió, és a dir, no té principi ni fi. 1. Coses iguals a una tercera són també iguals entre sí.
2. Si a coses iguals s'afegeixen coses iguals, els totals són iguals.
3. Si de coses iguals es resten coses iguals, el residu són coses iguals.
4. Les coses congruents entre sí, són iguals.
5. El tot és major que la part.

Els cinc postulats dels Elements són:

1. Una recta pot ésser traçada entre dos punts qualsevol.
2. El segment d'una recta es pot perllongar indefinidament.
Pla Un pla és l’ens ideal que sols té dues dimensions, i 3. Es pot traçar un cercle amb qualsevol centre i radi.
conté infinits punts i rectes. 4. Tots els angles rectes són iguals entre sí.
5. Si una secant talla dues rectes formant a un costat angles interi-
ors menors a dos angles rectes, les dues rectes perllongades es
tallen en aquest mateix costat (postulat de les paral·leles).

El cinquè postulat va ser substituït per:

Per un punt exterior a una recta sols es pot traçar una i sols
una paral·lela a la recta esmentada.

Aquest cinquè postulat pot ser negat i no s’entra en cap contradicció,
donant pas a geometries no euclidianes: geometria el·líptica (no es pot
traçar cap) i geometria hiperbòlica (es pot traçar més d’una).

Geometria