Page 17 - Constants

Floc de neu de Koch

El floc de neu de Koch (també anomenat estel de Koch o illa de Koch) és un
conjunt geomètric i una de les primeres corbes fractals que es varen descriure. Va
aparèixer per primera vegada el 1904 en l'article titulat “Sur une courbe continue
sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire”, del
matemàtic suec Helge von Koch. La construcció d'aquesta corba és un procés
iteratiu que comença amb un triangle equilàter, i en el qual a cadascun dels costats
es construeix una corba de Koch.

 La corba de Koch té una longitud infinita, perquè a cada pas hi ha quatre
vegades més segments que a l'anterior, i la longitud de cada un és

una tercera part del segment anterior. Llavors, la longitud total creix 1/3 i la

longitud de la corba construïda en el pas n serà , que en el límit serà

una longitud infinita.

 La dimensió fractal és , major que la dimensió d'una

recta (1) i menor que la dimensió de la corba de Peano, que omple el pla
(2).
 La corba de Koch és contínua, però no és derivable en cap punt.
 L'àrea del floc de neu de Koch és 8/5 del triangle inicial, i per tant un
perímetre infinit engloba una àrea finita.
 És possible tessel·lar un pla amb còpies del floc de neu de dues o més
mides diferents.