Page 14 - Paradoxes
P. 14
Hotel infinit
La paradoxa de Hilbert de l'hotel infinit és una faula inventada pel matemàtic
David Hilbert per tal d'il·lustrar les aparents contradiccions que apareixen en tractar
amb conjunts infinits. Parteix de la premissa d'un hotel amb tantes habitacions com
nombres naturals, totes elles numerades.
La paradoxa
Acceptant la premissa, s'estudia el cas en què l'hotel és ple. És a dir, cadascuna
de les seves habitacions ja té un hoste. En aquesta situació, es presenta un client i
demana una habitació a l'hotel. Malgrat estar totalment ple (hi ha un hoste a
cadascuna de les habitacions), l'hotel no té cap problema per tal d'encabir-lo: en té
prou amb ordenar a cada hoste que ocupi l'habitació amb el número següent a la
seva habitació actual. D'aquesta manera, l'habitació número 1 queda lliure pel nou
client. Aquest primer exemple ja il·lustra que el concepte intuïtiu per "ple" no
funciona adequadament en el supòsit d'un hotel infinit.
La paradoxa però va més enllà. Es planteja el cas que, amb l'hotel ple, arriben
infinits nous clients. L'amo de l'hotel tampoc té cap problema per a encabir-los:
ordena a cada hoste que ocupi l'habitació que té per número el doble de la seva
habitació actual. Aquesta distribució assigna a cada hoste una nova habitació per
ell sol, i deixa lliures infinites habitacions: totes aquelles que tenen un nombre
senar. Aquestes infinites habitacions permeten encabir els infinits nous clients.
Formalització
La paradoxa serveix per a il·lustrar els mètodes de bijectivitat entre conjunts
numerables, i dona una idea intuïtiva del fet que els conjunts dels nombres
naturals, dels nombres parells i dels nombres enters, entre d'altres, tenen tots la
mateixa cardinalitat. Aquestes proposicions foren estudiades i demostrades pel
matemàtic Georg Cantor al segle XIX.
